Question

6．已知△ABC的三條邊長a，b，c，證明：$\frac{|{a}^{2}-^{2}|}{c}$+$\frac{|^{2}-{c}^{2}|}{a}$≥$\frac{|{c}^{2}-{a}^{2}|}$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)a≥b≥c＞0，則$\frac{|{a}^{2}-^{2}|}{c}$+$\frac{|^{2}-{c}^{2}|}{a}$≥$\frac{|{c}^{2}-{a}^{2}|}$?$\frac{{a}^{2}-^{2}}{c}$+$\frac{^{2}-{c}^{2}}{a}$≥$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}$?ab（a²-b²）+bc（b²-c²）-ac（a²-c²）≥0，化簡即可證明．

解答 證明：不妨設(shè)a≥b≥c＞0，
則$\frac{|{a}^{2}-^{2}|}{c}$+$\frac{|^{2}-{c}^{2}|}{a}$≥$\frac{|{c}^{2}-{a}^{2}|}$?$\frac{{a}^{2}-^{2}}{c}$+$\frac{^{2}-{c}^{2}}{a}$≥$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}$?ab（a²-b²）+bc（b²-c²）-ac（a²-c²）≥0．
∵ab（a²-b²）+bc（b²-c²）-ac（a²-c²）=a³b-ab³+b³c-bc³-a³c+ac³
=a³b-ab³+b³c-bc³-a³c+ac³
=ab（a²-b²）-c（a³-b³）+c³（a-b）
=（a-b）[a²b+ab²-c（a²+ab+b²）+c³]
=（a-b）[ab（a-c）+b²（a-c）-c（a²-c²）]
=（a-b）（a-c）[ab+b²-ac-c²]
=（a-b）（a-c）[a（b-c）+（b-c）（b+c）]
=（a-b）（a-c）（b-c）（a+b+c）≥0．
∴ab（a²-b²）+bc（b²-c²）-ac（a²-c²）≥0．
因此原結(jié)論得證．

點評 本題考查了分析法、不等式的證明，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．