Question

17．已知圓x²+y²=4與直線3x-4y+c=0相交于A、B兩點，若∠AOB=90°（其中O為坐標原點），則實數(shù)c的值為（　　）

• A． ±5
• B． ±5$\sqrt{2}$
• C． ±10
• D． ±10$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由圓C的方程與直線方程聯(lián)立，消去y得方程①；
設直線l和圓C的交點坐標，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁x₂和x₁+x₂的值；
再根據(jù)∠AOB=90°，得x₁x₂+y₁y₂=0，從而求出c的值．

解答 解：圓x²+y²=4與直線3x-4y+c=0聯(lián)立，
消去y，得25x²+6cx+c²-64=0…①；
設直線l和圓C的交點為A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁、x₂是①的兩個根，
∴x₁x₂=$\frac{{c}^{2}-64}{25}$，x₁+x₂=-$\frac{6c}{25}$…②；
由題意：OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+$\frac{1}{4}$（c+3x₁）•$\frac{1}{4}$（c+3x₂）=0，
即$\frac{25}{16}$x₁x₂+$\frac{3}{16}$c（x₁+x₂）+$\frac{{c}^{2}}{16}$=0③；
將②代入③得：（c²-64）-$\frac{18}{25}$c²+c²=0，
解得c=±5$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題綜合考查了直線與圓的位置關(guān)系，根與系數(shù)關(guān)系的應用問題，是中檔題．