Question

7．三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排．
（1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？
（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？
（3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？（結(jié)果用數(shù)字表示）

Answer 1

分析 （1）分捆綁法2步進(jìn)行分析：①、先把三個(gè)女生看成一個(gè)整體，考慮其之間的順序，②將這個(gè)整體與五個(gè)男生全排列，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（2）用插空法分析：①、先把五個(gè)男生排好，分析其空位的數(shù)目，②、再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（3）分2步進(jìn)行分析：①、在5個(gè)男生中挑選2個(gè)安排在兩端，②、將其余6人全排列，安排在其他位置，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、因?yàn)槿齻�(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整體，三個(gè)女生之間又都有$A_3^3$種不同的排法，
②、這個(gè)整體同五個(gè)男生合在一起共有六個(gè)元素，進(jìn)行全排列，排成一排有$A_6^6$種不同排法．
因此共有$A_6^6•A_3^3=4320$種不同的排法；
（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、先把五個(gè)男生排好，五個(gè)男生排成一排有$A_5^5$種不同排法，每?jī)蓚�(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)位置，
②、再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，有$A_6^3$種方法，
所以共有$A_5^2•A_6^6=14400$種不同的排法；
（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、因?yàn)閮啥瞬荒芘排�生，所以兩端只能挑選5個(gè)男生中的2個(gè)，有$A_5^2$種不同排法，
②、將其余6人全排列，安排在其他位置，有$A_6^6$種排法，
所以共有$A_5^2•A_6^6=14400$種不同的排法．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握特殊問(wèn)題的處理方法．