Question

1．在△ABC中，邊BC=2，A=$\frac{π}{6}$，若AC的長(zhǎng)使得該三角形有唯一解，則AC的長(zhǎng)的取值范圍為（0，2]∪{4}．

Answer 1

分析 由正弦定理$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，可得AC=4sinB，可得范圍B∈（0，$\frac{5π}{6}$），由題意，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：B∈（0，$\frac{π}{6}$]或B=$\frac{π}{2}$，進(jìn)而可求AC的長(zhǎng)的取值范圍．

解答 解：∵BC=a=2，A=$\frac{π}{6}$，
∴由正弦定理$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，可得：$\frac{AC}{sinB}=\frac{2}{\frac{1}{2}}$，解得：AC=4sinB，
∵A=$\frac{π}{6}$，A+B+C=π，可得：B∈（0，$\frac{5π}{6}$），
∵若AC=4sinB的長(zhǎng)使得該三角形有唯一解，則sinB有唯一解，
∴由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：B∈（0，$\frac{π}{6}$]或B=$\frac{π}{2}$，即：sinB∈（0，$\frac{1}{2}$]，或sinB=1，
∴AC=4sinB∈（0，2]，或AC=4．
∴AC的長(zhǎng)的取值范圍為：（0，2]∪{4}．
故答案為：（0，2]∪{4}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．