Question

10．某高中學(xué)校為了解中學(xué)生的身高情況，從該校同年齡段的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生測(cè)量身高，由測(cè)量得到頻率分布表和頻率分布直方圖（部分）如下：

身高	[145，155）	[155，165）	[165，175）	[175，185）	[185，195]
頻數(shù)	3	m	19	n	4

（1）求m，n并在該題答題紙區(qū)域內(nèi)補(bǔ)全頻率分布直方圖；
（2）請(qǐng)用這50名學(xué)生的身高數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)該校這個(gè)年齡段的學(xué)生身高平均數(shù)是多少？（同一組中的數(shù)據(jù)用該組的中點(diǎn)值作代表）；
（3）從[145，155）和[185，195]這兩組中任意取出兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生身高差距超過(guò)10cm的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖得身高在[155，165）內(nèi)的頻率為0.26，從而能求出m，進(jìn)而能求出n，由此能求出身高在[155，165）內(nèi)的小矩形的高，從而補(bǔ)全頻率分布直方圖．
（2）利用頻率分布直方圖能用這50名學(xué)生的身高數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)該校這個(gè)年齡段的學(xué)生身高平均數(shù)．
（3）求出身高在[145，155）內(nèi)的學(xué)生有3人，身高在[185，195]內(nèi)的學(xué)生有4人，從這兩組中任意取出兩名學(xué)生，基本事件總數(shù)n=${C}_{7}^{2}$=21，這兩名學(xué)生身高差距超過(guò)10cm包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}=12$，由此能求出這兩名學(xué)生身高差距超過(guò)10cm的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得身高在[155，165）內(nèi)的頻率為0.026×10=0.26，
∴m=0.26×50=13，
∴n=50-3-13-19-4=11，
∴身高在[155，165）內(nèi)的頻率為：$\frac{11}{50}$=0.22，
∴頻率分布直方圖中身高在[155，165）內(nèi)的小矩形的高為：$\frac{0.22}{10}$=0.022，
補(bǔ)全頻率分布直方圖如下圖：

（2）用這50名學(xué)生的身高數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)該校這個(gè)年齡段的學(xué)生身高平均數(shù)為：
0.006×10×150+0.026×10×160+0.038×10×170+0.022×10×180+0.008×10×190=170．
（3）身高在[145，155）內(nèi)的學(xué)生有0.006×10×50=3人，
身高在[185，195]內(nèi)的學(xué)生有0.008×10×50=4人，
從這兩組中任意取出兩名學(xué)生，基本事件總數(shù)n=${C}_{7}^{2}$=21，
這兩名學(xué)生身高差距超過(guò)10cm包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}=12$，
∴這兩名學(xué)生身高差距超過(guò)10cm的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{12}{21}$=$\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查古典概型的合理運(yùn)用．