Question

20．關(guān)于x的方程（x²-1）²-|x²-1|-k=0，給出下列四個(gè)命題：
①存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；
②存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；
③存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根；
④存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 把已知方程變形，得k=（x²-1）²-|x²-1|，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）=（x²-1）²-|x²-1|的單調(diào)性，作出圖象大致形狀，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：由（x²-1）²-|x²-1|-k=0，得k=（x²-1）²-|x²-1|，
令f（x）=（x²-1）²-|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{4}-3{x}^{2}+2，（x≤-1或x≥1）}\\{{x}^{4}-{x}^{2}，（-1＜x＜1）}\end{array}\right.$．
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，由f（x）=x⁴-x²，得f′（x）=4x³-2x=2x（2x²-1），
當(dāng)x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
f（x）有極小值為f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$-\frac{1}{4}$．
當(dāng)x≥1時(shí)，由f（x）=x⁴-3x²+2，得f′（x）=4x³-6x=2x（2x²-3），
當(dāng)x∈（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增
f（x）有極小值為f（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=$-\frac{3}{4}$．
又f（x）為偶函數(shù)，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
由圖可知，直線y=k與y=f（x）的圖象可以是2、4、5、8個(gè)交點(diǎn)．
∴正確的命題是①②④3個(gè)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于中檔題．