Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4，x≤0}\\{{e}^{x}-5，x＞0}\end{array}\right.$若關于x的方程|f（x）|-ax-5=0恰有三個不同的實數(shù)解，則滿足條件的所有實數(shù)a的取值集合為{-e，-$\frac{5}{ln5}$，2，$\frac{5}{2}$}．

Answer 1

分析 作出y=|f（x）|的函數(shù)圖象，根據(jù)直線y=ax+5與y=|f（x）|有3個交點得出兩函數(shù)圖象的關系，從而得出a的值．

解答 解：令f（x）=0得x=-2或x=ln5，
∵f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4，x≤-2}\\{4-{x}^{2}，-2＜x≤0}\\{5-{e}^{x}，0＜x＜ln5}\\{{e}^{x}-5，x＞ln5}\end{array}\right.$，
作出y=|f（x）|的函數(shù)圖象如圖所示：

∵關于x的方程|f（x）|-ax-5=0恰有三個不同的實數(shù)解，
∴直線y=ax+5與y=|f（x）|有3個交點，
∴y=ax+5過點（-2，0）或過點（ln5，0）或y=ax+5與y=|f（x）|的圖象相切，
（1）若y=ax+5過點（-2，0），則a=$\frac{5}{2}$，
（2）若y=ax+5過點（ln5，0），則a=-$\frac{5}{ln5}$，
（3）若y=ax+5與y=|f（x）|在（-2，0）上的圖象相切，設切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}_{0}=a}\\{{y}_{0}=a{x}_{0}+5}\\{{y}_{0}=4-{{x}_{0}}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，
（4）若y=ax+5與y=|f（x）|在（0，ln5）上的圖象相切，設切點為（x₁，y₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{-{e}^{{x}_{1}}=a}\\{{y}_{1}=a{x}_{1}+5}\\{{y}_{1}=5-{e}^{{x}_{1}}}\end{array}\right.$，解得a=-e，
∴a的取值集合為{-e，-$\frac{5}{ln5}$，2，$\frac{5}{2}$}．
故答案為{-e，-$\frac{5}{ln5}$，2，$\frac{5}{2}$}．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關系，數(shù)學結(jié)合法與分類討論思想，屬于中檔題．