Question

15．已知定義在R上的函數(shù)f（x）存在零點，且對任意m，n∈R都滿足f[$\frac{m}{2}$f（m）+f（n）]=f²（m）+2n，則函數(shù)g（x）=|f[f（x）]-4|+log₃x-1的零點個數(shù)為3．

Answer 1

分析 令f（m）=0得出f[f（n）]=2n，從而得出g（x）=|2x-4|+log₃x-1，分別作出y=1-log₃x和y=|2x-4|的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的交點個數(shù)判斷g（x）的零點個數(shù)．

解答 解：設(shè)m為f（x）的零點，則f（m）=0，
∴f[f（n）]=2n，
∴f[f（x）]=2x，
∴g（x）=|2x-4|+log₃x-1，
令g（x）=0得1-log₃x=|2x-4|，
分別作出y=1-log₃x和y=|2x-4|的函數(shù)圖象，如圖所示：

由圖象可知y=1-log₃x和y=|2x-4|的函數(shù)圖象有3個交點，
∴g（x）=|2x-4|+log₃x-1有3個零點．
故答案為3．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．