Question

已知動圓過定點F（1，0），且與直線l：x=-1相切
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）過點P（2，0）作直線交C的軌跡于A，B兩點，交l于點M，若點M的縱坐標為-3，求|AB|的長．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設M為動圓圓心，F(xiàn)（1，0），由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，由此能求出動圓圓心的軌跡方程．
（2）設直線AB的方程為y=k（x-2），則y=k（x-2）過點（-1，-3），從而直線AB的方程為y=x-2，由此能求出|AB|的長．

解答： 解：（1）如圖，設M為動圓圓心，F(xiàn)（1，0），
過點M作直線x=-1的垂線，垂足為N，由題意知：|MF|=|MN|
即動點M到定點F與到定直線x=-1的距離相等，
由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，
其中F（1，0）為焦點，x=-1為準線，
∴動圓圓心的軌跡方程為y²=4x．
（2）設直線AB的方程為y=k（x-2），則y=k（x-2）過點（-1，-3），
解得k=1，∴直線AB的方程為y=x-2，
聯(lián)立

y=x-2 y2=4x

，得x²-8x+4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=8，x₁x₂=4，
∴|AB|=

(1+1)(64-16)

=4

6

．

點評：本題考查圓心的軌跡方程的求法，考查弦長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．