14.如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=1,AA1=2,S是A1C1的中點
(1)求證:AC⊥SD;
(2)求三棱錐A1-BC1D的體積.

分析 (1)推導出AC⊥BD,AC⊥B1D1,DD1⊥AC,從而AC⊥平面BB1D1D,由此能證明AC⊥SD.
(2)由S是A1C1中點,可得A1C1=2SC1,三棱錐A1-BC1D的體積${V_{{A_1}-B{C_1}D}}=2{V_{S-B{C_1}D}}=2{V_{{C_1}-BSD}}=2×\frac{1}{3}•S{\;}_{△BSD}•{C_1}S$.由此能求出結果.

解答 證明:(1)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,
底面ABCD是正方形,可得AC⊥BD,
又BD∥B1D1,所以AC⊥B1D1
由DD1⊥平面ABCD,可得DD1⊥AC②
由①②,且B1D1∩DD1=D1,
所以AC⊥平面BB1D1D,
而SD?平面BB1D1D,所以AC⊥SD.
解:(2)由S是A1C1中點,可得A1C1=2SC1,
由(1)中AC⊥平面BB1D1D,
可知A1C1⊥平面BB1D1D,即C1S⊥平面SBD,
所以三棱錐A1-BC1D的體積:
${V_{{A_1}-B{C_1}D}}=2{V_{S-B{C_1}D}}=2{V_{{C_1}-BSD}}=2×\frac{1}{3}•S{\;}_{△BSD}•{C_1}S=2×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{2}{3}$.

點評 本題考查線線垂直的證明,考查幾何體的體積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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