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15.若動點M到定點A(0,1)與定直線l:y=3的距離之和為4.
(1)求點M的軌跡方程,并畫出方程的曲線草圖;
(2)記(1)得到的軌跡為曲線C,問曲線C上關于點B(0,t)(t∈R)對稱的不同點有幾對?請說明理由.

分析 (1)設M(x,y),由題意x2+y12+|y3|=4,分類討論,可得點M的軌跡方程,并畫出方程的曲線草圖;
(2)當t≤0或t≥4顯然不存在符合題意的對稱點.當0<t<4時,注意到曲線C關于y軸對稱,至少存在一對(關于y軸對稱的)對稱點,下面研究曲線C上關于B(0,t)對稱但不關于y軸對稱的對稱點即可.

解答 解:(1)設M(x,y),由題意x2+y12+|y3|=4…(4分)
①:當y≤3時,有x2+y12=y+1,化簡得:x2=4y
②:當y>3時,有x2+y12=7y,化簡得:x2=-12(y-4)(二次函數(shù))
綜上所述:點M的軌跡方程為x2={4yy312y4y3(如圖)                    …(4分)
(2)當t≤0或t≥4顯然不存在符合題意的對稱點
當0<t<4時,注意到曲線C關于y軸對稱,至少存在一對(關于y軸對稱的)對稱點
下面研究曲線C上關于B(0,t)對稱但不關于y軸對稱的對稱點
設P(x0,y0)是軌跡x2=4y(y≤3)上任意一點,則x20=4y0y03,它關于B(0,t)的對稱點為Q(-x0,2t-y0),由于點Q在軌跡x2=-12(y-4)上,
所以x02=122ty04,聯(lián)立方程組{x20=4y0x20=122ty04(*)得

4y0=-12(2t-y0-4),化簡得t=y0+630y03
①當y0∈(0,3)時,t∈(2,3),此時方程組(*)有兩解,即增加有兩組對稱點.


②當y0=0時,t=2,此時方程組(*)只有一組解,即增加一組對稱點.(注:對稱點為P(0,0),Q(0,4))


當y0=3時,t=3,此時方程組( �。┯袃山鉃�P233Q233,沒有增加新的對稱點.
綜上所述:{t0t4t021t=22t233t[341…(8分)

點評 本題考查軌跡方程,考查分類討論的數(shù)學思想,考查學生分析解決問題的能力,難度大.

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