Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x．
（1）若x=3是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求f（x）在區(qū)間[2，a]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)f′（3）=0，求得a=5，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極值，和端點(diǎn)值，求出最值即可．
（2）（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，得到f′（x）=3x²-2ax+3≥0對(duì)任意x∈[1，+∞）恒成立，分離參數(shù)得到a≤

3

2

（x+

1

x

）任意x∈[1，+∞）恒成立，求出最小值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-ax²+3x．
∴f′（x）=3x²-2ax+3．
由題意有f′（3）=0，解得a=5，
故f（x）=x³-5x²+3x，
∴f′（x）=3x²-10x+3．
令 f′（x）=0，解得 x=3∈[2，5]，x=

1

3

 （舍去），
易知f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞減，在[3，5]上單調(diào)遞增，而f（2）=-6，f（5）=15，f（3）=-9
故f（x）在區(qū)間[2，a]上的最大值為15，最小值為-9；
（2）f（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=3x²-2ax+3≥0對(duì)任意x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≤

3

2

（x+

1

x

）任意x∈[1，+∞）恒成立，
∵

3

2

（x+

1

x

）≥

3

2

•2=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立
∴a≤3，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．