Question

7．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₄=2a₂，且a₁，4，a₄成等比數(shù)列，設(shè){a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{{n•{2^n}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：T_n＜3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的關(guān)系，求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和求解即可．

解答 （Ⅰ）解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{a_n}中，設(shè)公差為d，a₄=2a₂，且a₁，4，a₄成等比數(shù)列，a₁＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+3d=2（{a_1}+d）\\{a_1}•（{a_1}+3d）=16\end{array}\right.$解得a₁=2，d=2，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知a₁=d=2，則${S_n}=2n+\frac{n（n-1）}{2}×2={n^2}+n$，
∴${b_n}=\frac{S_n}{{n•{2^n}}}=\frac{n+1}{2^n}$．
∴${T_n}=\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+…+\frac{n+1}{2^n}$，（*）$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}+\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}$，（**）
∴$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{2}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=2+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n+1}{2^n}=2+\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n+1}{2^n}=3-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n+1}{2^n}＜3$．
∴T_n＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，考查計(jì)算能力．