Question

【題目】已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式先求得導(dǎo)函數(shù)，由極值點(diǎn)存在條件可知，可得；再求得導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)，即可由導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)代入求得等量關(guān)系，結(jié)合不等式求得定義域.

（2）利用分析法分析可知，若證明，只需證明，利用換元法轉(zhuǎn)化并求得導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和最值證明不等式成立即可.

（1）函數(shù),

則，

因?yàn)橛袠O值點(diǎn)，所以，

化簡(jiǎn)可得，

導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).

而導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)為二次函數(shù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以是的零點(diǎn).

即，

代入可得，化簡(jiǎn)可知，

又，即，解得，

，

（2）證明:要證，，

只要證，

只要證，

只要證，

設(shè)，，則，

所以，，

，

，

原式得證.