Question

1．設(shè)a＞0，b＞0，若2是4^a和2^b的等比中項，則$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 4
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得4^a×2^b=2²，分析可得2a+b=2，分析可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）（2a+b）=$\frac{1}{2}$[5+$\frac{2a}$+$\frac{2b}{a}$]，由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若2是4^a和2^b的等比中項，則有4^a×2^b=2²，即2^2a+b=2²，
則有2a+b=2，
$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）（2a+b）=$\frac{1}{2}$[5+$\frac{2a}$+$\frac{2b}{a}$]≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{2a}×\frac{2b}{a}}$）=$\frac{9}{2}$，
當且僅當a=b=$\frac{2}{3}$時，等號成立；
故選：C．

點評 本題考查基本不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出a、b的關(guān)系．