Question

12．若不等式[2tx²-（t²-1）x+2]•lnx≤0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)t的值是-1．

Answer 1

分析 由題意可得當(dāng)lnx≥0，即x≥1時(shí)，2tx²-（t²-1）x+2≤0恒成立．討論t的符號(hào)，可得t＜0，由2t-（t²-1）+2≤0，解得t≤-1，檢驗(yàn)x≥1時(shí)，不等式恒成立；討論0＜x＜1時(shí)，2tx²-（t²-1）x+2≥0恒成立．考慮t的范圍和對(duì)稱軸與區(qū)間（0，1）的關(guān)系，可得2t-（t²-1）+2≥0，解不等式即可得到所求t的值．

解答 解：不等式[2tx²-（t²-1）x+2]•lnx≤0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，
當(dāng)lnx≥0，即x≥1時(shí)，2tx²-（t²-1）x+2≤0恒成立．
當(dāng)t≥0時(shí)，2tx²-（t²-1）x+2≤0不恒成立，
則t＜0，且2t-（t²-1）+2≤0，解得t≤-1或t≥3（舍去），
當(dāng)t≤-1時(shí)，對(duì)稱軸x=$\frac{{t}^{2}-1}{4t}$＜0＜1，y=2tx²-（t²-1）x+2在x≥1遞減，
2tx²-（t²-1）x+2≤0恒成立；
當(dāng)lnx＜0，即0＜x＜1時(shí)，2tx²-（t²-1）x+2≥0恒成立．
由題意可得t≤-1，
且對(duì)稱軸x=$\frac{{t}^{2}-1}{4t}$＜0，y=2tx²-（t²-1）x+2在0＜x＜1遞減，
則2t•0-（t²-1）•0+2≥0，且2t-（t²-1）+2≥0，解得-1≤t≤3，
綜上可得-1≤t≤-1，即為t=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及分類討論思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．