Question

8．等比數(shù)列{a_n}的各項都是正數(shù)，2a₅，a₄，4a₆成等差數(shù)列，且滿足${a_4}=4{a_3}^2$，數(shù)列{b_n}的前n項和為${S_n}=\frac{{（n+1）{b_n}}}{2}$，n∈N^*，且b₁=1
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式
（2）設(shè)${c_n}=\frac{{{b_{2n+5}}}}{{{b_{2n+1}}{b_{2n+3}}}}{a_n}$，n∈N^*，{C_n}前n項和為$\sum_{k=1}^n{c_k}$，求證：$\sum_{k=1}^n{{c_k}＜\frac{1}{3}}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)公比為q，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求得公比q，根據(jù)等比數(shù)列的等比中項的性質(zhì)，即可求得a₁，求得數(shù)列{a_n}的通項公式，由b_n=S_n-S_n-1，化簡整理即可求得{b_n}的通項公式；
（2）由（1）求得數(shù)列{c_n}的通項公式，采用“裂項法”即可求得數(shù)列{c_n}前n項和，即可證明不等式成立．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意可知2a₄=2a₅+4a₆，即a₄=a₄q+2a₄q²，
由a_n＞0，則2q²+q-1=0，解得：q=$\frac{1}{2}$，或q=-1（舍去），
a₄=4a₃²=4a₂a₄，則a₂=$\frac{1}{4}$，
∴a₁=$\frac{1}{2}$，
等比數(shù)列{a_n}通項公式a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{（n+1）_{n}}{2}$-$\frac{n_{n-1}}{2}$，
整理得：$\frac{_{n}}{n}$=$\frac{_{n-1}}{n-1}$，
∴數(shù)列{$\frac{_{n}}{n}$}是首項為$\frac{_{1}}{1}$=1的常數(shù)列，
則$\frac{_{n}}{n}$=1，則b_n=n，n∈N*，
數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=n，n∈N*；
（2）證明：由（1）可知：c_n=$\frac{_{2n+5}}{_{2n+1}_{2n+3}}$a_n
=$\frac{2n+5}{（2n+1）（2n+3）}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{（2n+1）•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（2n+3）•{2}^{n}}$，
∴$\sum_{n=1}^{n}$c_k=c₁+c₂+…+c_n=（$\frac{1}{3×{2}^{0}}$-$\frac{1}{5×{2}^{1}}$）+（$\frac{1}{5×{2}^{1}}$-$\frac{1}{7×{2}^{2}}$）+…+$\frac{1}{（2n+1）•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（2n+3）•{2}^{n}}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{（2n+3）•{2}^{n}}$＜$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．