Question

14．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點M（p，0）的直線交拋物線于A，B兩點，若$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，則$\frac{|AF|}{|BF|}$=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 與p有關

Answer 1

分析 設直線方程為x=my+p，代入y²=2px，可得y²-2pmy-2p²=0，利用向量條件，求出A，B的坐標，利用拋物線的定義，即可得出結論．

解答 解：設直線方程為x=my+p，代入y²=2px，可得y²-2pmy-2p²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-2p²，
∵$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，∴（p-x₁，-y₁）=2（x₂-p，y₂），
∴x₁=-2x₂+p，y₁=-2y₂，
可得y₂=p，y₁=-2p，
∴x₂=$\frac{1}{2}$p，x₁=2p，
∴$\frac{|AF|}{|BF|}$=$\frac{2p+\frac{1}{2}p}{\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}p}$=$\frac{5}{2}$，
故選B．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識，考查拋物線的定義，屬于中檔題．