Question

4．以雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一點M為圓心作圓，該圓與x軸相切于C的一個焦點F，與y軸交于P，Q兩點，若△MPQ為正三角形，則C的離心率等于（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意可設(shè)F（c，0），MF⊥x軸，可設(shè)M（c，n），n＞0，設(shè)x=c，代入雙曲線的方程，可得M的坐標，圓的半徑，運用弦長公式，可得|PQ|=2$\sqrt{\frac{^{4}}{{a}^{2}}-{c}^{2}}$，再由等邊三角形的性質(zhì)，可得a，c的方程，運用離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可設(shè)F（c，0），
MF⊥x軸，可設(shè)M（c，n），n＞0，
設(shè)x=c，代入雙曲線的方程可得y=b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=$\frac{^{2}}{a}$，
即有M（c，$\frac{^{2}}{a}$），
可得圓的圓心為M，半徑為$\frac{^{2}}{a}$，
即有M到y(tǒng)軸的距離為c，
可得|PQ|=2$\sqrt{\frac{^{4}}{{a}^{2}}-{c}^{2}}$，
由△MPQ為等邊三角形，可得
c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2$\sqrt{\frac{^{4}}{{a}^{2}}-{c}^{2}}$，
化簡可得3b⁴=4a²c²，
由c²=a²+b²，可得3c⁴-10c²a²+3a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得3e⁴-10e²+3=0，
解得e²=3（$\frac{1}{3}$舍去），
即有e=$\sqrt{3}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用直線和圓相交的弦長公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．