Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$cos2（ωx+φ））（φ＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$），$\overrightarrow$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，函數(shù)f（x）的圖象過點B（1，2），點B與其相鄰的最高點的距離為4．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）計算f（1）+f（2）+…+f（2017）；
（Ⅲ）設函數(shù)g（x）=f（x）-m-1，試討論函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，3]上的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數(shù)量積的坐標運算可得f（x），由題意求得ω=$\frac{π}{4}$，再由函數(shù)f（x）的圖象過點B（1，2）列式求得φ．則函數(shù)解析式可求，由復合函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=1+sin$\frac{π}{2}x$，可得f（x）是周期為4的周期函數(shù)，且f（1）=2，f（2）=1，f（3）=0，f（4）=1．得到f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4．
進一步可得f（1）+f（2）+…+f（2017）=4×504+2=2018；
（Ⅲ）g（x）=f（x）-m-1=$sin\frac{π}{2}x-m$，函數(shù)g（x）在[0，3]上的零點個數(shù)，即為函數(shù)y=sin$\frac{π}{2}x$的圖象與直線y=m在[0，3]上的交點個數(shù)．數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$cos2（ωx+φ）），$\overrightarrow$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×$$\sqrt{2}$cos2（ωx+φ）=1-cos2（ωx+φ）），
∴f（x）_max=2，則點B（1，2）為函數(shù)f（x）的圖象的一個最高點．
∵點B與其相鄰的最高點的距離為4，∴$\frac{2π}{2ω}=4$，得ω=$\frac{π}{4}$．
∵函數(shù)f（x）的圖象過點B（1，2），∴$1-cos（\frac{π}{2}+2φ）=2$，即sin2φ=1．
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=1-cos2（$\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}$）=1+sin$\frac{π}{2}x$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{π}{2}x≤2kπ+\frac{π}{2}$，得-1+4k≤x≤1+4k（k∈Z）．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1+4k，1+4k]，k∈Z；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=1+sin$\frac{π}{2}x$，
∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)，且f（1）=2，f（2）=1，f（3）=0，f（4）=1．
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4．
而2017=4×504+1，
∴f（1）+f（2）+…+f（2017）=4×504+2=2018；
（Ⅲ）g（x）=f（x）-m-1=$sin\frac{π}{2}x-m$，函數(shù)g（x）在[0，3]上的零點個數(shù)，即為函數(shù)y=sin$\frac{π}{2}x$的圖象
與直線y=m在[0，3]上的交點個數(shù)．
在同一直角坐標系內(nèi)作出兩個函數(shù)的圖象如圖：
①當m＞1或m＜-1時，兩函數(shù)的圖象在[0，3]內(nèi)無公共點；
②當-1≤m＜0或m=1時，兩函數(shù)的圖象在[0，3]內(nèi)有一個共點；
③當0≤m＜1時，兩函數(shù)的圖象在[0，3]內(nèi)有兩個共點．
綜上，當m＞1或m＜-1時，函數(shù)g（x）在[0，3]上無零點；
②當-1≤m＜0或m=1時，函數(shù)g（x）在[0，3]內(nèi)有1個零點；
③當0≤m＜1時，函數(shù)g（x）在[0，3]內(nèi)有2個零點．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查數(shù)量積的坐標運算，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．