Question

【題目】如圖，平面PAC⊥平面ABC，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F，O分別為PA，PB，AC的中點，.

（1）設(shè)G是OC的中點，證明：∥平面；

（2）證明：在內(nèi)存在一點M，使FM⊥平面BOE，求點M到OA，OB的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析，點M到OA，OB的距離為.

【解析】

（1）連結(jié)OP，以O為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點的坐標(biāo)，并求得平面的法向量，即可由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算證明，進而可知∥平面；

（2）M在內(nèi)，可設(shè)點M的坐標(biāo)為，由平面，可知，由共線向量的坐標(biāo)關(guān)系即可求得M的坐標(biāo)，檢驗M的坐標(biāo)是否滿足在內(nèi)，進而由M的坐標(biāo)可求得點M到OA，OB的距離.

（1）證明：為中點，連結(jié)OP如下圖所示，

因為,

所以，

因為平面平面，且平面平面，

所以平面，

而平面，則.

以O為坐標(biāo)原點，分別以OB、OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

由題意得，得，

而，

設(shè)平面的法向量為

則,代入可得，

令，代入可得，所以平面BOE的法向量為

而，

得，即，

又直線不在平面內(nèi)，

因此有平面.

（II）設(shè)點M的坐標(biāo)為，則，

因為平面，所以有，

因此有，即點M的坐標(biāo)為，

在平面直角坐標(biāo)系中，的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組，

經(jīng)檢驗，點M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，

所以在內(nèi)存在一點M，使平面，由點M的坐標(biāo)得點M到OA，OB的距離為.