【題目】如圖,已知在四棱錐中,平面,點(diǎn)在棱上,且,底面為直角梯形, 分別是的中點(diǎn).
(1)求證://平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)見證明;(2) (3)
【解析】
(1)法一:構(gòu)造平行四邊形,利用三角形中位線定理,證明平行,即可.法二:建立空間坐標(biāo)系,計算各點(diǎn)坐標(biāo),計算平面PBC的法向量,結(jié)合向量數(shù)量積公式,即可.(2)利用向量數(shù)量積公式,代入坐標(biāo),即可.(3)結(jié)合向量數(shù)量積公式,代入,即可.
(1)法一:,則//,
依題意得,//,,
所以為平行四邊形,
//
又平面, 平面, ∴//平面
法二:以為原點(diǎn),以分別為建立空間直角坐標(biāo)系,
由 ,分別是的中點(diǎn),可得:
∴,
設(shè)平面的的法向量為,
則有:
令,則,
∴,又平面
∴//平面
(2)設(shè)平面的的法向量為,
又
則有:
令,則,
又,
∴,
∴求直線 與平面所成的角的正弦值為
(3)
∴點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場按月訂購一種家用電暖氣,每銷售一臺獲利潤200元,未銷售的產(chǎn)品返回廠家,每臺虧損50元,根據(jù)往年的經(jīng)驗,每天的需求量與當(dāng)天的最低氣溫有關(guān),如果最低氣溫位于區(qū)間,需求量為100臺;最低氣溫位于區(qū)間,需求量為200臺;最低氣溫位于區(qū)間,需求量為300臺。公司銷售部為了確定11月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年11月份各天的最低氣溫數(shù)據(jù),得到下面的頻數(shù)分布表:
最低氣溫(℃) | |||||
天數(shù) | 11 | 25 | 36 | 16 | 2 |
以最低氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最低氣溫位于該區(qū)間的概率.
求11月份這種電暖氣每日需求量(單位:臺)的分布列;
若公司銷售部以每日銷售利潤(單位:元)的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),計劃11月份每日訂購200臺或250臺,兩者之中選其一,應(yīng)選哪個?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若,解不等式;
(Ⅱ)若不等式至少有一個負(fù)數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三個班共有學(xué)生100人,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲取了部分學(xué)生一周的鍛煉時間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時).
班 | 6 | 7 | ||
班 | 6 | 7 | 8 | |
班 | 5 | 6 | 7 | 8 |
(Ⅰ)試估計班學(xué)生人數(shù);
(Ⅱ)從班和班抽出來的學(xué)生中各選一名,記班選出的學(xué)生為甲,班選出的學(xué)生為乙,若學(xué)生鍛煉相互獨(dú)立,求甲的鍛煉時間大于乙的鍛煉時間的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)若不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),與直線相較于點(diǎn),且是線段的中點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并加以證明;
(2)用定義證明在上是減函數(shù);
(3)函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)?(直接寫出答案,不要求寫證明過程).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義滿足不等式|xA|<B(A∈R,B>0)的實數(shù)x的集合叫做A的B鄰域.若a+bt(t為正常數(shù))的a+b鄰域是一個關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間,則a2+b2的最小值為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x>0時,f(x)<0,又f(1)=-.
(1)求證:f(x)為奇函數(shù);
(2)求證:f(x)在R上是減函數(shù);
(3)求f(x)在[-3,6]上的最大值與最小值.
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