Question

3．已知α是第二象限角，sinα+cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求sin2α、cos2α．

Answer 1

分析 由題意和平方關(guān)系化簡已知的式子，由二倍角的正弦公式求出sin2α，由條件和三角函數(shù)值的符號縮小α的范圍，求出2α的范圍，由平方關(guān)系和三角函數(shù)值的符號求出cos2α．

解答 解：由題意得，sinα+cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
兩邊平方得，1-2sinαcosα=$\frac{1}{3}$，則sin2α=$\frac{2}{3}$，
因α是第二象限角，sinα+cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＞0，
所以|sinα|＞|cosα|，即$\frac{π}{2}+2kπ＜α＜\frac{3π}{4}+2kπ（k∈Z）$，
所以$π+4kπ＜2α＜\frac{3π}{2}+4kπ（k∈Z）$，
則cos2α=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=$-\frac{\sqrt{5}}{3}$，
即sin2α=$\frac{2}{3}$，cos2α=$-\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查二倍角的正弦公式，平方關(guān)系、三角函數(shù)值的符號，以及α范圍判斷的方法，屬于中檔題．