Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{2}$，且過點A（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知y=kx+1，是否存在k使得點A關于l的對稱點B（不同于點A）在橢圓C上？若存在求出此時直線l的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知，焦距為2c=2$\sqrt{2}$，解得c=$\sqrt{2}$．又$A（\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$在橢圓C上，$\frac{9}{4{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}$=1，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得a²，b²．
（2）當k=0時，直線l：y=1，點$B（{\frac{2}{3}，\frac{5}{2}}）$不在橢圓上；當k≠0時，可設直線$AB：y=-\frac{1}{k}（x-\frac{3}{2}）-\frac{1}{2}$，即$x=-ky-\frac{k-3}{2}=0$，代入橢圓方程整理得（4k²+12）y²+4k（k-3）y+（k-3）²-12=0，若點A與點B關于l的對稱，則其中點在直線y=kx+1上，解得k，進而判斷出結論．

解答 解：（1）由已知，焦距為2c=2$\sqrt{2}$，解得c=$\sqrt{2}$．
又$A（\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$在橢圓C上，∴$\frac{9}{4{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}$=1，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a²=3，b²=1．
${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{y_0}{{{x_0}+a}}•\frac{y_0}{{{x_0}-a}}=\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{a^2}}}=1$
故所求橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．…（5分）
（2）當k=0時，直線l：y=1，點$B（{\frac{2}{3}，\frac{5}{2}}）$不在橢圓上；…（6分）
當k≠0時，可設直線$AB：y=-\frac{1}{k}（x-\frac{3}{2}）-\frac{1}{2}$，即$x=-ky-\frac{k-3}{2}=0$，
代入橢圓方程整理得（4k²+12）y²+4k（k-3）y+（k-3）²-12=0，
∵${y_1}+{y_2}=-\frac{4k（k-3）}{{4{k^2}+12}}$，
∴${x_1}+{x_2}=-（k-3）-k（{y_1}+{y_2}）=-（k-3）+k\frac{4k（k-3）}{{4{k^2}+12}}=-\frac{12（k-3）}{{4{k^2}+12}}$，…（10分）
若點A與點B關于l的對稱，則其中點$（{-\frac{6（k-3）}{{4{k^2}+12}}，-\frac{2k（k-3）}{{4{k^2}+12}}}）$在直線y=kx+1上，
∴$-\frac{2k（k-3）}{{4{k^2}+12}}=-\frac{6k（k-3）}{{4{k^2}+12}}+1$，解得k=-1．
因為此時點$A（\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$在直線y=-x+1上，…（11分）
所以對稱點B與點A重合，不合題意所以不存在y²=4x滿足條件…（12分）

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關系、中點坐標公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．