Question

5．定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）=x+sinx，如果f（1-a）+f（1-a²）＞0，那么能否確定a的取值范圍？試說明理由．

Answer 1

分析 有意義函數(shù)f（x）=x+sinx且定義域（-1，1），并且此函數(shù)利用結(jié)論已得到其為奇函數(shù)，且為在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f（1-a）+f（1-a²）＞0?f（1-a）＞f（a²-1），然后進(jìn)行求解即可．

解答 解：能確定a的取值范圍，理由如下：
由f（x）=x+sinx且定義域（-1，1），
求導(dǎo)得：f′（x）=1+cosx≥0在定義域上恒成立，
所以函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，
又因?yàn)閥=x與y=-sinx均為奇函數(shù)，所以其和為奇函數(shù)，
所以f（1-a）+f（1-a²）＞0?f（1-a）＞f（a²-1），
所以$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜{a}^{2}-1＜1}\\{1-a＞{a}^{2}-1}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜1，

點(diǎn)評 此題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性求解抽象函數(shù)的不等式，還考查了不等式的求解及集合的交集．