Question

14．如圖，平面ABEF⊥平面ABC，四邊形ABEF為矩形，AC=BC，O為AB的中點(diǎn)，DF⊥OE．
（1）求證：OE⊥FC；
（2）若AB=2，F(xiàn)C與平面ABEF所成角為45°時(shí)，求二面角O-CF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，則OC⊥AB，從而得到OC⊥OF，進(jìn)而得到OF⊥OE，由此能證明OE⊥FC．
（2）取EF的中點(diǎn)D，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OB，OD所在直線建立坐標(biāo)系，求出平面FCB、平面OCF的法向量，由此能求出二面角O-CF-B的余弦值．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，
∵AC=BC，O是AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB．  
又∵平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．
又OF⊥EC，∴OF⊥平面OEC，
∴OF⊥OE，
又∵OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，
∴OE⊥FC． 
（2）解：∵AB=2，∠CFO=45°，
∴AF=1，CO=OF=$\sqrt{2}$．
取EF的中點(diǎn)D，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OB，OD所在直線建立坐標(biāo)系，則F（0，-1，1），E（0，1，1），B（0，1，0），C（$\sqrt{2}$，0，0），
∴$\overrightarrow{FB}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}$，-1，0）．
設(shè)平面FCB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{2y-z=0}\\{\sqrt{2}x-y=0}\end{array}\right.$，∴取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，2，4），
平面OCF的法向量為$\overrightarrow{OE}$=（0，1，1），
設(shè)法向量的夾角為θ，∴cosθ=$\frac{3\sqrt{11}}{11}$，
∴二面角O-CF-B的余弦值為$\frac{3\sqrt{11}}{11}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查向量法的運(yùn)用，屬于中檔題．