Question

2．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且2a₁，a₃，3a₂成等差數(shù)列．
（Ⅰ） 求等比數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n，求數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}的前n項和T_n，求證T_n＜2．

Answer 1

分析 （I）設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由2a₁，a₃，3a₂成等差數(shù)列，可得：2a₃=2a₁+3a₂，即$2{a}_{1}{q}^{2}$=a₁（2+3q），解得q，利用通項公式即可得出．
（II）b_n=log₂a_n=n．可得$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$$\frac{n}{{2}^{n}}$．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （I）解：設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，
∵2a₁，a₃，3a₂成等差數(shù)列，
∴2a₃=2a₁+3a₂，
∴$2{a}_{1}{q}^{2}$=a₁（2+3q），化為：2q²-3q-2=0，解得q=2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）證明：b_n=log₂a_n=n．
∴$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
∴T_n＜2．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．