Question

16．已知（$\root{3}{{x}^{2}}$+3x²）ⁿ的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為32．
（1）求n；
（2）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）令二項(xiàng)式中的x=1得到展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式得到各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和，據(jù)已知列出方程求出n的值．
（2）將n的值代入二項(xiàng)式，根據(jù)中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，判斷出二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出該項(xiàng)．

解答 解：（1）令x=1，則（$\root{3}{{x}^{2}}$+3x²）ⁿ展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為4ⁿ，又（$\root{3}{{x}^{2}}$+3x²）ⁿ展開(kāi)式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ，
所以$\frac{{4}^{n}}{{2}^{n}}$=32，即2ⁿ=32，解得n=5；
（2）由（1）可知：n=5，所以（$\root{3}{{x}^{2}}$+3x²）⁵展開(kāi)式的中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，即
T₃=C₅²$（\root{3}{{x}^{2}}）^{3}$（3x²）²=90x⁶，
T₄=C₅³（$\root{3}{{x}^{2}}$）²（3x²）³=270x${\;}^{\frac{22}{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 求二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和問(wèn)題一般通過(guò)觀察通過(guò)賦值求出系數(shù)和；求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般利用的工具是二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式．