Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，${a_n}•{a_{n+1}}={2^{n-1}}$，其前n項和為S_n，則
（1）a₅=4；
（2）S_2n=2ⁿ⁺¹-2．

Answer 1

分析 （1）運用代入法直接計算即可得到所求值；
（2）將n換為n+1，相除可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項、偶數(shù)項均以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，再由分組求和和等比數(shù)列的求和方法，即可得到所求和．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，${a_n}•{a_{n+1}}={2^{n-1}}$，
a₁a₂=1，可得a₂=1，
a₂a₃=2，可得a₃=2，
a₃a₄=4，可得a₄=2，
a₄a₅=8，可得a₅=4，
（2）a₁=1，${a_n}•{a_{n+1}}={2^{n-1}}$，
可得a_n+1a_n+2=2ⁿ，
即有a_n+2=2a_n，
即有數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項、偶數(shù)項均以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
可得S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2．
故答案為：4，2ⁿ⁺¹-2．

點評 本題考查數(shù)列的求和，注意運用運用分析法以及分組求和，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，考查運算能力，屬于中檔題．