Question

17．設m∈R，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P（x，y），則|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|的最大值為5．

Answer 1

分析 先計算出兩條動直線經(jīng)過的定點，即A和B，注意到兩條動直線相互垂直的特點，則有PA⊥PB；再利用基本不等式放縮即可得出|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|的最大值．

解答 解：由題意可知，動直線x+my=0經(jīng)過定點A（0，0），
動直線mx-y-m+3=0即m（x-1）-y+3=0，經(jīng)過點定點B（1，3），
注意到動直線x+my=0和動直線mx-y-m+3=0始終垂直，P又是兩條直線的交點，
則有PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．
故|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|≤$\frac{|PA{|}^{2}+|PB{|}^{2}}{2}$=5（當且僅當|PA|=|PB|=$\sqrt{5}$時取“=”）
故答案為：5．

點評 本題是直線和不等式的綜合考查，特別是“兩條直線相互垂直”這一特征是本題解答的突破口，從而有|PA|²+|PB|²是個定值，再由基本不等式求解得出．直線位置關系和不等式相結合，不容易想到，是個靈活的好題．