Question

19．已知數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2且n∈N^*時S${\;}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$），求證：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數列．

Answer 1

分析 把“當n≥2時a_n=S_n-S_n-1”代入${{S}_{n}}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）化簡，由等差數列的定義即可證明數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數列．

解答 證明：∵當n≥2時a_n=S_n-S_n-1，且${{S}_{n}}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$），
∴${{S}_{n}}^{2}$=（S_n-S_n-1）（S_n-$\frac{1}{2}$ ），
則${{S}_{n}}^{2}$=${{S}_{n}}^{2}$-$\frac{1}{2}$S_n-S_nS_n-1+$\frac{1}{2}$S_n-1，
即S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
兩邊同除以S_nS_n-1 得，$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
又a₁=1，則$\frac{1}{{S}_{1}}$=1，
∴數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1為首項、以2為公差的等差數列．

點評 本題考查了數列的前n項和與通項的關系，利用等差數列的定義確定等差關系，考查化簡、變形能力．