Question

1．已知f（x）是R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）＞f'（x），且f（x）-1為奇函數(shù)，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，e⁴）
• C． （e⁴，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)判斷g（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出g（x）＜1的解．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
∴g（x）是減函數(shù)，
∵f（x）-1為奇函數(shù)，∴f（0）-1=0，即f（0）=1，
∴g（0）=1，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1，即f（x）＜e^x，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．