Question

16．如圖，已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），點(diǎn)A，B分別是f（x）的圖象與y軸、x軸的交點(diǎn)，C，D分別是f（x）的圖象上橫坐標(biāo)為$\frac{π}{2}$、$\frac{2π}{3}$的兩點(diǎn)，CD∥x軸，A，B，D共線．
（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=k+sin2x在區(qū)間[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上恰有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，求出B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，線段CD中點(diǎn)坐標(biāo)，再求出f（x）的最小正周期T，從而求出ω的值，再根據(jù)f（0）與f（$\frac{2π}{3}$）互為相反數(shù)求出φ的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）寫出函數(shù)f（x）的解析式，把f（x）=k+sin2x化為k=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-sin2x=cos（2x+$\frac{π}{6}$），設(shè)g（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$），x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，畫出函數(shù)g（x）在x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的圖象，結(jié)合圖形求出y=k與g（x）恰有唯一交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，
∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{0+\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{π}{3}$；
又點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于直線x=$\frac{\frac{π}{2}+\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{7π}{12}$對(duì)稱，
∴f（x）的最小正周期T滿足$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{4}$，
解得T=π，即ω=$\frac{2π}{T}$=2；
又f（0）=sinφ，
f（$\frac{2π}{3}$）=sin（2×$\frac{2π}{3}$+φ）=sin（$\frac{4π}{3}$+φ）=-sin（$\frac{π}{3}$+φ）=-sinφ，且0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）=k+sin2x為sin（2x+$\frac{π}{3}$）=k+sin2x，
∴k=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-sin2x=-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=cos（2x+$\frac{π}{6}$），
設(shè)g（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$），x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，
則2x∈[$\frac{π}{6}$，π]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
畫出函數(shù)g（x）在x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的圖象，如圖所示；

根據(jù)題意，y=k與g（x）恰有唯一交點(diǎn)，
∴實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜k≤$\frac{1}{2}$或k=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)與方程以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，是綜合題．