Question

6．已知a，b，c是遞減的等差數(shù)列，若將其中兩個(gè)數(shù)的位置互換，得到一個(gè)等比數(shù)列，則$\frac{a+c}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，（d＜0），則三個(gè)數(shù)設(shè)為b-d，b，b+d，交換位置討論等比中項(xiàng)，解方程可得d，由此可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，（d＜0），則三個(gè)數(shù)設(shè)為b-d，b，b+d，
交換這三個(gè)數(shù)的位置后：
①若b是等比中項(xiàng)，位置不變，則b²=（b-d）（b+d），解得d=0，不符合；
②若b+d位置不動(dòng)，則b-d是等比中項(xiàng)，則（b-d）²=b（b+d）
解得d=3b，此時(shí)三個(gè)數(shù)為-2b，b，4b，則$\frac{a+c}$=$\frac{4b-2b}$的值為$\frac{1}{2}$．
③b-d位置不動(dòng)，同理得到d=-3b，
此時(shí)三個(gè)數(shù)為4b，b，-2b 則$\frac{a+c}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，注意等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)的設(shè)法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．