Question

7．某店銷售進(jìn)價(jià)為2元/件的產(chǎn)品A，假設(shè)該店產(chǎn)品A每日的銷售量y（單位：千件）與銷售價(jià)格x（單位：元/件）滿足的關(guān)系式y(tǒng)=$\frac{10}{x-2}$+4（x-6）²，其中2＜x＜6．
（1）若產(chǎn)品A銷售價(jià)格為4元/件，求該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)；
（2）試確定產(chǎn)品A銷售價(jià)格x的值，使該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)最大．（保留1位小數(shù)點(diǎn)）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x=4時(shí)，銷量$y=\frac{10}{2}+4{（{4-6}）^2}=21$千件，可得該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)；
（2）商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤(rùn)，可得日銷售量的利潤(rùn)函數(shù)為關(guān)于x的三次多項(xiàng)式函數(shù)，再用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點(diǎn)，從而得出最大值對(duì)應(yīng)的x值．

解答 解：（1）當(dāng)x=4時(shí)，銷量$y=\frac{10}{2}+4{（{4-6}）^2}=21$千件，
所以該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)是2×21=42千元；…（5分）
（2）該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)：$f（x）=（{x-2}）[{\frac{10}{x-2}+4{{（{x-6}）}^2}}]=10+4{（{x-6}）^2}（{x-2}）=4{x^3}-56{x^2}+240x-278（{2＜x＜6}）$
從而f'（x）=12x²-112x+240=4（3x-10）（x-6）（2＜x＜6）…（8分）
令f'（x）=0，得$x=\frac{10}{3}$，且在$（{2，\frac{10}{3}}）$上，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
在$（{\frac{10}{3}，6}）$上，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）遞減，…（10分）
所以$x=\frac{10}{3}$是函數(shù)f（x）在（2，6）內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，…（11分）
所以當(dāng)$x=\frac{10}{3}≈3.3$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值．
故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/件時(shí)，利潤(rùn)最大…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的運(yùn)用：求最值，求出利潤(rùn)的函數(shù)式和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．