【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形， .

（1）證明： ；

（2）若，求二面角的正弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接，交于點(diǎn)菱形性質(zhì)得根據(jù)線面垂直判定定理得平面即得結(jié)論，（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求二面角的正弦值.

試題解析：（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)閭?cè)面為菱形，

所以，且為與的中點(diǎn)， ，∴，

又，所以平面.

故

（2）在中，∵，∴.

結(jié)合（1）可知， 三條直線兩兩垂直，因此，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

在中，∵，∴，

又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>，所以為等邊三角形，

因?yàn)?/span>，所以， .

所以， ， ， .

， ，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則，即，所以可取，則.

同理，平面一個(gè)法向量

則，所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知F1 ， F2分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn)F1 ， F2關(guān)于直線x+y﹣2=0的對稱點(diǎn)是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a，b．當(dāng)ab最大時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2 ，SB=SC= ．

（1）設(shè)平面SCD與平面SAB的交線為l，求證：l∥AB；
（2）求證：SA⊥BC；
（3）求直線SD與面SAB所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ．
（1）當(dāng)m=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域M；
（2）當(dāng)a，b∈RM時(shí)，證明：2|a+b|＜|4+ab|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；

（2）判斷當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）若定義域?yàn)?/span>，解不等式.

【答案】（1）奇函數(shù)（2）增函數(shù)（3）

【解析】試題分析：（1）判斷與證明函數(shù)的奇偶性，首先要確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系，如果對定義域上的任意x，都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù)，如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù)。（2）利函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性，按假設(shè)，作差，化簡，判斷，下結(jié)論五個(gè)步驟。（3）由（1）（2）奇函數(shù)在（-1，1）為單調(diào)函數(shù)，

原不等式變形為f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函數(shù)的單調(diào)性及定義（-1，1）求解得x范圍。

試題解析：（1）函數(shù)為奇函數(shù)．證明如下：

定義域?yàn)?/span>

又

為奇函數(shù)

（2）函數(shù)在（-1，1）為單調(diào)函數(shù)．證明如下：

任取，則

，

即

故在（-1，1）上為增函數(shù)

（3）由（1）、（2）可得

則

解得：

所以，原不等式的解集為

【點(diǎn)睛】

（1）奇偶性：判斷與證明函數(shù)的奇偶性，首先要確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系，如果對定義域上的任意x，都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù)，如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù)。

（2）單調(diào)性：利函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性，按假設(shè)，作差，化簡，定號，下結(jié)論五個(gè)步驟。

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】已知函數(shù).

（1）若的定義域和值域均是，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若在區(qū)間上是減函數(shù)，且對任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，且對任意的，都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為，已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離是.

（1）求橢圓的方程和拋物線的方程；

（2）若是拋物線上的一點(diǎn)且在第一象限，滿足，直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，且點(diǎn)在上，拋物線與橢圓交于四點(diǎn)

（I）求的方程；

（Ⅱ）試探究坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)，滿足?（若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，需說明理由.）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知P是橢圓上的一點(diǎn)，F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)。

（1）當(dāng)∠F1PF2=60°時(shí)，求△F1PF2的面積；

（2）當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）＝－3x2＋a（6－a）x＋6.

（1）解關(guān)于a的不等式f（1）>0；

（2）若不等式f（x）>b的解集為（－1,3），求實(shí)數(shù)a，b的值．

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