Question

【題目】已知F1 ， F2分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn)F1 ， F2關(guān)于直線x+y﹣2=0的對(duì)稱點(diǎn)是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a，b．當(dāng)ab最大時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知：F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）．故⊙C的半徑為2，圓心為原點(diǎn)O關(guān)于直線x+y﹣2=0的對(duì)稱點(diǎn)．設(shè)圓心的坐標(biāo)為（m，n）．則 ，解得 ．

∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2=4；

（2）解：由題意，可設(shè)直線l的方程為x=my+2，則圓心到直線l的距離d= ，

∴b= ．

由 得（5+m2）y2+4my﹣1=0．

設(shè)l與E的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（x1，y1），（x2，y2）．

則 ， ．

∴a= = = ，

∴ab= = = ．

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立．

故當(dāng) 時(shí)，ab最大，此時(shí)，直線l的方程為 ，即 ．

【解析】（1）由題意可知：F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），可得⊙C的半徑為2，圓心為原點(diǎn)O關(guān)于直線x+y﹣2=0的對(duì)稱點(diǎn)．設(shè)圓心的坐標(biāo)為（m，n）．利用線段的垂直平行的性質(zhì)可得 ，解出即可得到圓的方程；（2））由題意，可設(shè)直線l的方程為x=my+2，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線l的距離d= ，再利用弦長公式即可得到b= ．把直線l的方程為x=my+2與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式即可得到a，進(jìn)而得到ab，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程才能正確解答此題．