Question

3．已知橢圓C的兩個頂點分別為A（-2，0），B（2，0），焦點在x軸上，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點D為x軸上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過D
作AM的垂線交BN于點E．求△BDE與△BDN的面積之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的頂點可得a=2，由離心率可得c，進而得到b，以及橢圓方程；
（Ⅱ）設D（x₀，0），M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），y₀＞0，求出直線AM，DE的方程和直線BN的方程，聯(lián)立直線BN與直線DE，可得E的縱坐標，運用三角形的面積公式，可得$\frac{{S}_{△BDE}}{{S}_{△BDN}}$=$\frac{{y}_{E}}{{y}_{N}}$，計算即可得到所求之比．

解答 解：（Ⅰ）∵焦點在x軸上，兩個頂點分別為A（-2，0），B（2，0），
∴a=2，
由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$c=\sqrt{3}$，
∴b²=a²-c²=1，∴$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）設D（x₀，0），M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），y₀＞0，
可得y₀²=1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$，
直線AM的方程是$y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（{x+2}）$，
∵DE⊥AM，
∴${k_{DE}}=-\frac{{{x_0}+2}}{y_0}$，直線DE的方程是$y=-\frac{{{x_0}+2}}{y_0}（{x-{x_0}}）$，
直線BN的方程是$y=\frac{{-{y_0}}}{{{x_0}-2}}（{x-2}）$，
直線BN與直線DE聯(lián)立可得，$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{{{x_0}+2}}{y_0}（{x-{x_0}}）\\ y=\frac{{-{y_0}}}{{{x_0}-2}}（{x-2}）\end{array}\right.$，
整理為：$\frac{{{x_0}+2}}{y_0}（{x-{x_0}}）=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（{x-2}）$，
即$（{{x_0}^2-4}）（{x-{x_0}}）={y_0}^2（{x-2}）$，
即（x₀²-4）（x-x₀）=$\frac{4-{{x}_{0}}^{2}}{4}$（x-2），
解得x_E=$\frac{4{x}_{0}+2}{5}$，
代入直線DE方程，求得y_E=-$\frac{{x}_{0}+2}{{y}_{0}}$•$\frac{2-{x}_{0}}{5}$=-$\frac{4-{{x}_{0}}^{2}}{5{y}_{0}}$=-$\frac{4}{5}$y₀，
則$\frac{{y}_{N}}{{y}_{E}}$=$\frac{5}{4}$ 又$\frac{{S}_{△BDE}}{{S}_{△BDN}}$=$\frac{\frac{1}{2}|BD|•|{y}_{E}|}{\frac{1}{2}|BD|•|{y}_{N}|}$
=$\frac{{y}_{E}}{{y}_{N}}$=$\frac{4}{5}$，
則△BDE與△BDN的面積之比為4：5．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用橢圓的頂點和離心率公式，考查三角形的面積的比，注意運用直線方程，聯(lián)立解方程求交點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．