Question

5．如圖，有一邊長(zhǎng)為6的正方形鐵片，在鐵片的四角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形后，沿圖中虛線部分折起，做成一個(gè)無(wú)蓋方盒．
（1）試用x表示方盒的容積V（x），并寫出x的范圍；
（2）求方盒容積V（x）的最大值及相應(yīng)x的值．

Answer 1

分析 （1）求出方盒的容積V（x），根據(jù)邊長(zhǎng)大于0，求出x的范圍即可；
（2）求出v（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出v（x）的最大值以及相應(yīng)x的值即可．

解答 解：（1）由題意，無(wú)蓋方盒底面是邊長(zhǎng)為6-2x的正方形，高為x，
從而有：V（x）=x（6-2x）²=4x³-24x²+36x，
其中，x滿足：$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{6-2x＞0}\end{array}}\right.$，∴0＜x＜3，
（2）由（1）知：V（x）=4x³-24x²+36x，x∈（0，3），
V′（x）=12x²-48x+36=12（x-1）（x-3），
 若0＜x＜1，則V′（x）＞0；若1＜x＜3，則V′（x）＜0，
∴V（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，
∴V（x）在x=1處取得極大值，也是最大值，
∴V（x）_max=V（1）=16，
故方盒容積V（x）的最大值為16，相應(yīng)x的值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．