Question

18．已知定義域為R的函數f（x）滿足f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．
（1）若f（3）=3，求f（-3）的值；
（2）若有且僅有一個實數x₀滿足f（x₀）=x₀’且函數$g（x）=\frac{1}{{{4^x}+m•{2^x}+4}}$的定義域為R，
①求實數m的取值范圍；           
 ②求f（m）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據題意，由f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x，將x=3代入，有f（f（3）-3²+3）=f（3）-3²+3=-3，整理可得f（-3）的值；
（2）①根據題意，由于函數$g（x）=\frac{1}{{{4^x}+m•{2^x}+4}}$的定義域為R，分析可得$-m≠{2^x}+\frac{4}{2^x}，而易知{2^x}+\frac{4}{2^x}≥4$，由基本不等式的性質分析可得答案；
②根據題意，由于有且僅有一個實數x₀滿足f（x₀）=x₀成立，分析可得f（x）-x²+x=x₀，分析可得f（x）的解析式，分析其解的情況，可得f（m）=m²-m+1，m∈（-4，+∞），由二次函數的性質分析可得答案．

解答 解：（1）因為f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x，f（3）=3
所以f（f（3）-3²+3）=f（3）-3²+3，
又由f（3）=3，代入可得f（3-3²+3）=-3，
所以f（-3）=-3，
（2）①因為函數$g（x）=\frac{1}{{{4^x}+m•{2^x}+4}}$的定義域為R，
所以4^x+m•2^x+4≠0對任意實數成立
所以$-m≠{2^x}+\frac{4}{2^x}，而易知{2^x}+\frac{4}{2^x}≥4$
所以-m＜4，所以m＞-4
故m的取值范圍是（-4，+∞），
②因為f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x對x∈R恒成立
又因為有且僅有一個實數x₀滿足f（x₀）=x₀
所以對任意x∈R，有f（x）-x²+x=x₀
令$x={x_0}，則f（{x_0}）-{x_0}^2+{x_0}={x_0}$
所以由$f（{x_0}）={x_0}得{x_0}-{x_0}^2=0，故{x_0}=0，或{x_0}=1$，
所以f（x）-x²+x=0或f（x）-x²+x=1
所以f（x）=x²-x或f（x）=x²-x+1
而當f（x）=x²-x時，f（x）=x有兩個解，舍去
當f（x）=x²-x+1時，f（x）=x只有一個解，
故f（x）=x²-x+1
所以f（m）=m²-m+1，m∈（-4，+∞）
所以f（m）的取值范圍是$[{\frac{3}{4}，+∞}）$．

點評 本題考查函數的解析式、函數的值的計算，關鍵是理解函數的定義，能準確分析“有且僅有一個實數x₀滿足f（x₀）=x₀”的含義．