Question

5．在菱形ABCD中，A=60°，AB=2$\sqrt{3}$，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P-BD-C的大小為120°，則三棱錐P-BCD的外接球體積為（　�。�

• A． $\frac{28\sqrt{7}}{3}$π
• B． 28$\sqrt{7}$π
• C． $\frac{32}{3}$π
• D． 4$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 設(shè)菱形中心為E，則△BCD為等邊三角形，利用球的對(duì)稱(chēng)性可知∠OEC=60°，利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出球的半徑．

解答 解：過(guò)球心O作OO′⊥平面BCD，則O′為等邊三角形BCD的中心，
∵四邊形ABCD是菱形，A=60°，∴△BCD是等邊三角形，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)E，則∠PEA=60°，
∴∠OEC=60°；
∵AB=2$\sqrt{3}$，∴CE=3，∴EO′=1，CO′=2，∴OO′=$\sqrt{3}$，
∴球的半徑OC=$\sqrt{OO{′}^{2}+O′{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴外接球的體積V=$\frac{4}{3}π×（\sqrt{7}）^{3}$=$\frac{28\sqrt{7}}{3}π$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐與外接球的關(guān)系，找出∠OEC=60°是解題關(guān)鍵．