Question

10．如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，且EC⊥平面ABC，EC=1．
（Ⅰ）證明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）證明：平面ABD⊥平面BDE．

Answer 1

分析 （I）取AB的中點F，連結(jié)DF，CF，利用面面垂直的性質(zhì)得出DF⊥平面ABC，故而DF∥EC，通過計算DF的值可得DF=EC，于是四邊形DFCE為平行四邊形，得出DE∥CF，得出結(jié)論．
（II）利用面面垂直的性質(zhì)得出CF⊥平面ABD，而CF∥DE．故而DE⊥平面ABD，于是結(jié)論得證．

解答 證明：（I）取AB的中點F，連結(jié)DF，CF，
∵AD=BD，F(xiàn)是AB的中點，
∴DF⊥AB，
又∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，DF?平面ABD，
∴DF⊥平面ABC，又∵EC⊥平面ABC，
∴DF∥EC．
∵△ABD是等腰直角三角形，AB=2，
∴DF=$\frac{1}{2}$AB=1，又EC=1，
∴DF=EC，
∴四邊形DFCE是平行四邊形，
∴DE∥CF，又DE?平面ABC，CF?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
（II）∵△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是AB的中點，
∴CF⊥AB，
又平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，CF?平面ABC，
∴CF⊥平面ABD，又CF∥ED，
∴DE⊥平面ABD，又DE?平面BDE，
∴平面ABD⊥平面BDE．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，構(gòu)造平行線與垂線是證明的關(guān)鍵．