Question

6．已知$\overrightarrow a$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow b$=（-1，$\sqrt{3}$），則|$\overrightarrow a$-$2\overrightarrow b$|的最大值和最小值分別是（　�。�

• A． 25，9
• B． 5，3
• C． 16，0
• D． 16，4

Answer 1

分析 根據(jù)向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標(biāo)求出$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow=（cosθ+2，sinθ-2\sqrt{3}）$，從而求出$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}=（cosθ+2）^{2}+（sinθ-2\sqrt{3}）^{2}$，根據(jù)兩角差的正弦公式化簡便可得出$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}=8sin（\frac{π}{6}-θ）+17$，從而由$-1≤sin（\frac{π}{6}-θ）≤1$便可求出$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}$的范圍，進(jìn)而求出$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|$的范圍，從而得出$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|$的最大、最小值．

解答 解：$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow=（cosθ+2，sinθ-2\sqrt{3}）$；
∴$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}=（cosθ+2）^{2}+（sinθ-2\sqrt{3}）^{2}$
=$co{s}^{2}θ+4cosθ+4+si{n}^{2}θ-4\sqrt{3}sinθ+12$
=$8（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）+17$
=$8sin（\frac{π}{6}-θ）+17$；
∵$-1≤sin（\frac{π}{6}-θ）≤1$；
∴$9≤（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}≤25$；
∴$3≤|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|≤5$；
∴$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|$的最大值為5，最小值為3．
故選：B．

點評 考查向量坐標(biāo)的減法和數(shù)乘運算，以及向量數(shù)量積的計算公式及坐標(biāo)運算，cos²θ+sin²θ=1，兩角差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的值域，不等式的性質(zhì)．