Question

9．點M（x，y）滿足不等組$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，點P（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$）（a＞0，b＞0），若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$的最大值為6，則3a+b的最小值為（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 9
• C． 3+2$\sqrt{2}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用向量數(shù)量積的公式進行轉化，利用線性規(guī)劃求出最優(yōu)解，建立a，b的關系，結合基本不等式進行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$，
∴設z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$，
若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$的最大值為6，即z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$的最大值為6，
由z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$得y=-$\frac{a}$x+bz，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
平移直線y=-$\frac{a}$x+bz，由圖象知當直線經(jīng)過點A時，
y=-$\frac{a}$x+bz時，直線的截距最大，此時z最大為6，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（4，6），
此時$\frac{4}{a}$+$\frac{6}$=6，
即$\frac{2}{3a}$+$\frac{1}$=1，
則3a+b=（3a+b）（$\frac{2}{3a}$+$\frac{1}$）=2+1+$\frac{2b}{3a}$+$\frac{3a}$≥3+2$\sqrt{\frac{2b}{3a}•\frac{3a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當且僅當$\frac{2b}{3a}$=$\frac{3a}$，即2b²=9a²，時取等號，
即3a+b的最小值為3+2$\sqrt{2}$，
故選：C

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用以及利用基本不等式進行求最值問題，利用線性規(guī)劃問題，作出圖象，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．