Question

【題目】已知集合，，，令表示集合所含元素的個(gè)數(shù).

（1）寫(xiě)出的值；

（2）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

Answer 1

【答案】（1）13

（2）

【解析】

試題（1）根據(jù)題意按分類計(jì)數(shù)：共13個(gè)（2）由（1）知，所以當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式要按除的余數(shù)進(jìn)行分類，最后不難利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明

試題解析：（1）．

（2）當(dāng)時(shí)，（）．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；

②假設(shè)（）時(shí)結(jié)論成立，那么時(shí)，在的基礎(chǔ)上新增加的元素在，，中產(chǎn)生，分以下情形討論：

1）若，則，此時(shí)有

，結(jié)論成立；

2）若，則，此時(shí)有

，結(jié)論成立；

3）若，則，此時(shí)有

，結(jié)論成立；

4）若，則，此時(shí)有

，結(jié)論成立；

5）若，則，此時(shí)有

，結(jié)論成立；

6）若，則，此時(shí)有

，結(jié)論成立．

綜上所述，結(jié)論對(duì)滿足的自然數(shù)均成立．