10.已知函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx).
(I)求f(x)的最小正周期及對稱中心坐標;
(II)求f(x)的遞減區(qū)間.

分析 (I)利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式,然后求解f(x)的最小正周期,利用正弦函數(shù)的對稱中心求解函數(shù)的對稱中心坐標;
(II)利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可.

解答 (本題滿分12分)
解:(I)f(x)=2sinx(sinx+cosx)=2sin2x+2sinxcosx=$sin2x-cos2x+1=\sqrt{2}sin(2x-\frac{π}{4})+1$,…(2分)
則f(x)的最小正周期T=π,…(3分)
由$\left\{\begin{array}{l}sin(2x-\frac{π}{4})=0\\ y=1\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}2x-\frac{π}{4}=kπ\(zhòng)\ y=1\end{array}\right.$(k∈Z),
即$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}\\ y=1\end{array}\right.$(k∈Z),f(x)的對稱中心坐標為$(\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8},1)$(k∈Z);…(7分)
(Ⅱ)由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$,
得$\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{7π}{8}+kπ$(k∈Z),f(x)的遞減區(qū)間為$[\frac{3π}{8}+kπ,\frac{7π}{8}+kπ]$(k∈Z).…(12分)

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù),正弦函數(shù)的對稱性以及對稱中心周期是求法,考查計算能力.

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