2.點G是△ABC的重心,$|{\overrightarrow{AC}}|=1,|{\overrightarrow{BC}}|=\sqrt{2}$,且AG⊥BG,則sinC=$\frac{4}{5}$.

分析 設(shè)GE=y,GF=x,由三角形重心的性質(zhì)及勾股定理可得:x2+(2y)2=$\frac{1}{4}$,(2x)2+y2=$\frac{1}{2}$,解得x2,y2,利用勾股定理可求c2,由余弦定理可得cosC的值,進而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC的值.

解答 解:由已知,AF=$\frac{1}{2}$,BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
設(shè)GE=y,GF=x,則:AG=2y,BG=2x,
由勾股定理可得:x2+(2y)2=$\frac{1}{4}$,(2x)2+y2=$\frac{1}{2}$,
解得:x2=$\frac{7}{60}$,y2=$\frac{1}{30}$,
可得:c2=AB2=(2x)2+(2y)2=$\frac{3}{5}$,
由余弦定理可得:cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{2+1-\frac{3}{5}}{2×2×1}$=$\frac{3}{5}$,
可得:sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{4}{5}$.
故答案為:$\frac{4}{5}$.

點評 本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)及勾股定理,余弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,考查了數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

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5+6+7+8+9+10+11+12+13=81
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