Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}={2^{n+1}}-2$，數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n，c_n=a_n+b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列遞推式：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n=${log_2}{a_n}={log_2}{2^n}=n$，c_n=a_n+b_n=2ⁿ+n，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}={2^{n+1}}-2$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2ⁿ-2，
∴a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，成立，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=2ⁿ；
（2）b_n=${log_2}{a_n}={log_2}{2^n}=n$，
由c_n=a_n+b_n=2ⁿ+n，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=a₁+b₁+a₂+b₂+…+a_n+b_n
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+（1+2+3+…+n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{（1+n）n}{2}$=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{（1+n）n}{2}$，
故數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{（1+n）n}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列遞推式：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，注意運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．