Question

1．如圖，扇形ABC是一塊半徑為2千米，圓心角為60°的風景區(qū)，P點在弧BC上，現欲在風景區(qū)中規(guī)劃三條商業(yè)街道，要求街道PQ與AB垂直，街道PR與AC垂直，線段RQ表示第三條街道．
（1）如果P位于弧BC的中點，求三條街道的總長度；
（2）由于環(huán)境的原因，三條街道PQ、PR、RQ每年能產生的經濟效益分別為每千米300萬元、200萬元及400萬元，問：這三條街道每年能產生的經濟總效益最高為多少？（精確到1萬元）

Answer 1

分析 （1）由P為于∠BAC的角平分線上，利用幾何關系，分別表示丨PQ丨，丨PR丨，丨RQ丨，即可求得三條街道的總長度；
（2）設∠PAB=θ，0＜θ＜60°，根據三角函數關系及余弦定理，即可求得丨PQ丨，丨PR丨，丨RQ丨，則總效益W=丨PQ丨×300+丨PR丨×200+丨RQ丨×400，利用輔助角公式及正弦函數的性質，即可求得答案．

解答 解：（1）由P位于弧BC的中點，在P位于∠BAC的角平分線上，
則丨PQ丨=丨PR丨=丨PA丨sin∠PAB=2×sin30°=2×$\frac{1}{2}$=1，
丨AQ丨=丨PA丨cos∠PAB=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
由∠BAC=60°，且丨AQ丨=丨AR丨，
∴△QAB為等邊三角形，
則丨RQ丨=丨AQ丨=$\sqrt{3}$，
三條街道的總長度l=丨PQ丨+丨PR丨+丨RQ丨=1+1+$\sqrt{3}$=2+$\sqrt{3}$；
（2）設∠PAB=θ，0＜θ＜60°，
則丨PQ丨=丨AP丨sinθ=2sinθ，丨PR丨=丨AP丨sin（60°-θ）=2sin（60°-θ）=$\sqrt{3}$cosθ-sinθ，
丨AQ丨=丨AP丨cosθ=2cosθ，丨AR丨=丨AP丨cos（60°-θ）=2cos（60°-θ）=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ
由余弦定理可知：丨RQ丨²=丨AQ丨²+丨AR丨²-2丨AQ丨丨AR丨cos60°，
=（2cosθ）²+（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）²-2×2cosθ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）cos60°，
=3，
則丨RQ丨=$\sqrt{3}$，
三條街道每年能產生的經濟總效益W，W=丨PQ丨×300+丨PR丨×200+丨RQ丨×400
=300×2sinθ+（$\sqrt{3}$cosθ-sinθ）×200+400$\sqrt{3}$=400sinθ+200$\sqrt{3}$cosθ+400$\sqrt{3}$，
=200（2sinθ+$\sqrt{3}$cosθ）+400$\sqrt{3}$，
=200$\sqrt{7}$sin（θ+φ）+400$\sqrt{3}$，tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當sin（θ+φ）=1時，W取最大值，最大值為200$\sqrt{7}$+400$\sqrt{3}$≈1222，
三條街道每年能產生的經濟總效益最高約為1222萬元．

點評 本題考查三角函數的綜合應用，考查余弦定理，正弦函數圖象及性質，輔助角公式，考查計算能力，屬于中檔題．