Question

19．某景區(qū)欲建造兩條圓形觀景步道M₁、M₂（寬度忽略不計(jì)），如圖所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（單位：米），要求圓M₁與AB、AD分別相切于點(diǎn)B、D，圓M₂與AC、AD分別相切于點(diǎn)C、D；
（1）若∠BAD=60°，求圓M₁、M₂的半徑（結(jié)果精確到0.1米）
（2）若觀景步道M₁與M₂的造價(jià)分別為每米0.8千元與每米0.9千元，如何設(shè)計(jì)圓M₁、M₂的大小，使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？（結(jié)果精確到0.1千元）

Answer 1

分析 （1）直接利用三角函數(shù)，可得結(jié)論；
（2）設(shè)∠BAD=2α，則總造價(jià)y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°-α），換元，利用基本不等式，可得結(jié)論．

解答 解：（1）M₁半徑=60tan30°≈34.6，M₂半徑=60tan15°≈16.1；
（2）設(shè)∠BAD=2α，則總造價(jià)y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°-α），
設(shè)1+tanα=x，則y=12π•（8x+$\frac{18}{x}$-17）≥84π，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{3}{2}$，tanα=$\frac{1}{2}$時(shí)，取等號(hào)，
∴M₁半徑30，M₂半徑20，造價(jià)263.8千元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．